Родился на станции Тоннельная Краснодарского края. Живёт в Москве.

Окончил Московский химико-технологический институт им. Д. И. Менделеева (1974). По образованию химик-технолог.

В 1993 году окончил Институт культуры по специальности режиссура.

Песни пишет с 1971 г., в основном, на стихи известных российских и зарубежных поэтов.

Первая песня "Пороги". Он блистал на всех фестивальных сценах 70-80 годов, дуэт А.Евстигнеев — Михаил Ярхо известен

с конца 70-х годов и до сих пор не сходит со сцены. Дуэт становилися лауреатом Московского, Челябинского и Алма-атинского фестивалей.

Александр много гастролировал в России и СНГ, выступал в Нью-Йорке, был аккомпаниатором А.Городницкого — альбом "На материк" записан при участии А.Костромина и А.Евстигнеева в

качестве аранжировщиков.

Вот уже 25 лет ведет активную педагогическую деятельность, несколько поколений его учеников вошли в обжитый им мир музыки, став там своими и введя туда своих детей.

В результате своей педагогической и концертной деятельности А.Евстигнеев стал одним из самых любимых московских артистов в жанре авторской песни, ученики помнят его

и приходят к нему спустя многие годы после своих занятий у этого талантливого и терпеливого учителя.